11

11.Линейность
и аддитивность определённого интеграла

I. Линейность
определенного интеграла

Если функции
f( x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a, b],
то при любых числах α, β О R функция α ·
f(x) + β · g(x ) также интегрируема на [a, b] и
справедливо равенство

(x)+
β·g(x) dx=a·
(x)dx+
β·
(x)dx

II. Аддитивность
определенного интеграла

а) Если
функция f( x) интегрируема на отрезке [a,
b] и a<c<b, то f (x) интегрируема на отрезках
[a, c], [с, b] и справедливо равенство

(x)dx=(x)dx+(x)dx

б) Если
функция f( x) интегрируема на отрезках
[a, c] и [с, b], причем a<c<b, то f(x)
интегрируема на отрезке [a, b] и справедливо
равенство

(x)dx+(x)dx=(x)dx

Замечание.
Примем, что

(x)dx=-(x)dx

Тогда
свойство II.б будет иметь место и без
условия a<c<b :

Если функция
f(x) интегрируема на отрезке [u, v], то при
любом расположении точек a, b, c на отрезке
[u, v] справедливо равенство

x)dx=(x)dx+(x)dx

12.Теорема
про среднее значение определённого
интеграла

Определенный
интеграл от функции f(x) ,
непрерывной на отрезке [a, b], равен
значению подынтегральной функции в
некоторой «средней» точке с промежутка
интегрирования, умноженному на длину
этого промежутка:

(13).dx=f(c)(b-a),a
≤c <b

Доказательство.

По свойству
функций, непрерывных на отрезке f(x)
достигает своего наименьшегоmи наибольшегоMзначений
и принимает все промежуточные значения
междуmиM:m≤f(x)≤M.
В силу формулы,предположив, что a<b , имеем

m≤≤M

Обозначим

(x)dx=K,K=const,тогдаm≤KM

По свойству
непрерывных функций найдется значение
x=c,(a≤c≤b)
такое, чтоf(c)=K

Следовательно,
из равенства
(x)dx=f(c)
(14)

получим
нужное соотношение (13).

Замечание.
В выражении (14) f(c)
называют средним (средним интегральным)
значением функцииf(x)
на отрезкеa≤x≤b.

13.Свойства
интеграла как функции верхней грани

Рассмотрим
функцию Ф(x)=(t)dt. Эту функцию называют: интеграл как
функция верхнего предела. Отметим
несколько свойств этой функции.

Теорема
2.1. Если f(x) интегрируемая на [a,b] функция,
то Ф(x) непрерывна на [a,b].

Доказательство.
По свойству 9 определенного интеграла
(теорема о среднем) имеем
=µh,откуда,приh0,получаем
требуемое.

Теорема
2.2. Если f(x) непрерывная на [a,b] функция,
то Ф’(x) = f(x) на [a,b].

Доказательство.
По свойству 10 определенного интеграла
(вторая теорема о среднем), имеем

=f(c),где
с – некоторая точка отрезка [x,x+h]. В силу
непрерывности функции f

получаем
: Ф’(x)=lim(h)lim(h)f(c)=f(x)

Таким
образом, Ф(x) — одна из первообразных
функции f(x) следовательно, Ф(x) = F(x) + C, где
F(x) — другая первообразная f(x). Далее, так
как Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, следовательно, C =
-F(a) и поэтому Ф(x) = F(x) – F(a). Полагая x=b,
получаем формулу Ньютона-Лейбница

(x)dx=Ф(b)=F(b)-F(a)

20,21.Применение
определённого интеграла для вычисления
длины кривой и объёма тела

Вычисление
длины дуги плоской кривой

Пусть
известна функция y=f(x)
и требуется найти длину дуги, заданной
функциейy=f(f)
, где

x[a,b].

Для
определения длины дуги Lнеобходимо вычислить определенный
интеграл:

S=
dx

Рассмотрим
случай параметрического задания кривой:

L:

Где
t. В этом случае для определения длина
дуги вычисляется определенный интеграл:

S=
dt=

Рассмотрим
случай, когда кривая задается в полярных
координатах p=(p(v)
где,vТогда для определения длины дугиLвычисляется следующий определенный
интеграл:

S=

Вычисление
объема тела вращения

Рассмотрим
криволинейную трапецию, т.е. фигуру,
образованную прямыми x=a,x=b,осьюOxи функциейy=f(x)
.

Требуется
найти объем тела вращения, образованного
вращением криволинейной трапеции вокруг
оси Ox.

Объем
данного тела вычисляется по формуле,
содержащей определенный интеграл:

V=π(x)dx

Если
криволинейная трапеция прилежит к оси
Oy(прямыеy=c,y=d, осьOyи функцияx=F(y)
), тогда объем тела также определяется
по формуле, содержащей интеграл:

V=π(y)dy.

Leave a Comment