L№3векторы

7

1.
Трехмерное пространство. Векторы.
Линейные операции над векторами.

Определение.
Вектором
называется направленный отрезок с
началом в точке А и с концом в точке В.

Краткости
ради, будем обозначать вектор одной
буквой; например,
(рис.2), и называть его, когда это необходимо,
одномерным приn=1,
двумерным при n=2
и трехмерным при n=3.

Начало
вектора называют также его точкой
приложения.
Вектор
называетсяпротивоположным
вектору
и обозначается

Рис.2

Длиной
вектора
называется длина отрезка АВ и обозначаетсяили.
Длина вектора называется такжемодулем
вектора.

Если
точки А и В совпадают, то вектор называется
нулевым
и обо­значается
.
Если=1,
то векторназываетсяединичным.

Два
вектора

и
называютсяколлинеарными,
если они лежат на одной прямой или
параллельны одной прямой (рис.3).

Рис.3 Рис4.
Рис.5

Два вектора
называются одинаково
направленными (противоположно
направленными),
если они коллинеарны и располагаются
по одну сторону (по разные стороны)
прямой, проходящей через начала этих
векторов (рис.4), (рис.5).

Определение.
Два вектора
иназываются равными, если они имеют
равные длины и одинаковые направления;
при этом пишут:.

Из этого определения
вытекает, что если вектор
перемещать вRn
параллельно самому себе, сохраняя его
длину и направление, то получим тот же
вектор
.

В частности,
коллинеарные векторы всегда можно
расположить на одной прямой.

Определение.
Три вектора называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или
параллельны одной плоскости.

Очевидно, компланарные
векторы всегда можно расположить в
одной плоскости (рис.6).

Рис.6

Определение.
Суммой двух векторов
иназывается вектор,
идущий из начала векторав конец вектора,
при условии, что векторприложен к концу вектора(рис.7) (правило треугольника).

Рис.7

Очевидно, если
векторы
иприложить к общему началу, то векторесть диагональ параллелограмма,
построенного на этих векторах как на
сторонах, выходящих из общего начала
векторови(рис.7) (правило параллелограмма).

Легко проверить
следующие свойства суммы векторов:

1);
2);
3);
4).

Сумма любого числа
векторов может быть построена при
по­мощи следующего правила, вытекающего
из определения суммы двух векторов.

Общее
правило сложения векторов
.
Чтобы построить сумму векторов
а1,а2,…,ап,
нужно к
концу вектора а1
приложить вектор а2,
затем к концу вектора а2
приложить вектор а3
и так далее, пока не дойдем до вектора
ап.
Тогда суммой а12+…+ап
будет вектор, идущий из начала вектора
а1
в конец вектора аn
(рис.8).

Рис. 8

Определение.
Вектор с = в-а называется разностью
векторов в и а, если а+с = в

(рис.9).

Из рис.9 видно, что
разность двух векторов, приведенных к
общему началу, есть вектор, идущий из
конца вектор-вычитаемого в конец
вектор-уменьшаемого.

Определение.
Произведением вектора а на вещественное
числоназывается вектор,
который имеет длинуодинаково направлен с вектором а, еслии противоположно направлен вектору а,
если.

Итак, вектор

это вектор, коллинеарный вектору а и
растя­нутый враз («растянутый» в широком смысле
этого слова). При этом под векто­ром
0а понимается нулевой вектор 0.

Теорема.
Если вектор в коллинеарен ненулевому
вектору а, то существует вещественное
число
такое, что в =а.

Операции сложения
векторов и произведения вектора на
число связаны следующими условиями:

5)а
=а+а;

6)
(а)
= ()а;

7)
(а+в)
=а+в.

Свойства 5)-7)
геометрически очевидны.

Рассмотрим вектор
(-1)а. На основании свойства 5) имеем:
а+(-1)а=0; из свойства (4) следует, что вектор
(-1)а есть вектор -а, противоположный
вектору а.

3.
Базис. Разложение вектора по базису.

Определение.
Упорядоченная пара (а,в) двух ненулевых
двумерных векторов а и в называются
базисом числовой плоскости
R2,
если для любого вектора с
R2
существуют такие числа
и,
что справедливо представление

(1)

При этом числа
иназываются аффинными координатами
вектора с в базисе(а,в),
а равенство (1) называется разложением
вектора с по базису (а,в).

Определение.
Упорядоченная тройка (а,в,с) трех
ненулевых трехмерных векторов а,в,с
называется базисом числового пространства
R
3
, если для любого вектора сR
3
существуют такие вещественные числа
,
что справедливо равенство

d
=
а+в+c

(2)

При этом числа
называются аффинными координатами
вектора d
в базисе (а,
в, с)
, а
равенство (2) называется разложением
вектора d
по базису (а,
в, с).

Рассмотрим важные
частные случаи базиса.

1. Пусть i,j
— единичные двумерные векторы, лежащие
на осях координат соответственно OX
и OY.
Так как они неколлинеарны, то (i,j)
— базис пространства R2.
Тогда, для любого вектора сR2
существуют такие числа с1
и с2,
что имеет место равенство

с = с1i+c2j,

которое записывается
короче: с = (с12).

Найдем координаты
векторов i
и j
в базисе (i,j).

Пусть
i = (i1,i2),
j = (j1,j2).
Тогда

i =
i1i+i2j,
j = j1i+j2j.

Откуда получаем:
i1
= 1, i2
= 0, j1
= 0, j2
= 1; то есть i
= (1,0), j
= (0,1).

Базис (i,j)
называется прямоугольным
базисом в пространстве R2.

2. Пусть i,j,k
— единичные трехмерные векторы, лежащие
на осях ко­ординат соответственно
OX,OY,OZ.
Так как они некомпланарны, то (i,j,k)
— ба­зис пространства R3.
Тогда, для любого вектора сR3
существуют та­кие числа с123,
что имеет место равенство

с = с1i+c2j+с3k,

которое записывается
короче: с = (с123).

Аналогично, для
координат векторов i,j,k
в базисе (i,j,k)
имеем:

i
= (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1).

Базис (i,j,k)
называется прямоугольным
базисом в пространстве R3.

Основное значение
базиса состоит в том, что линейные
операции над векторами при задании
базиса становятся обычными арифметическими
операциями над числами — координатами
этих векторов. Именно справедлива
следующая теорема.

Теорема.
При сложении двух векторов, разложенных
по одному и тому же базису, их координаты
складываются. При умножении вектора на
число все его координаты умножаются на
это число.

Например, в
прямоугольном базисе для векторов
а=(2,3,-1), в=(3,0,1) имеем: 2а+3в=(13, 6, 1).

Пусть
в некотором пространстве заданы
произвольная ось Т и вектор АВ. Обозначим
буквами А1
и В1
основания перпендикуляров, опущенных
на ось т из точек А и В соответственно
(рис.13).

Рис.13

Определение.
Проекцией вектора АВ на ось т называется
величина вектора А
1В1,
то есть длина вектора А
1В1,
если ось т и вектор А
1В1
одинаково направлены и длина вектора
А
1В1,
взятая со знаком минус, если ось т и
вектор А
1В1
противоположно направлены.

Пусть а=АВ. Проекцию
вектора а на ось т обозначают символом
— прmа.

Выясним геометрический
смысл координат вектора в прямоугольном
базисе.

Пусть a
вектор из пространства R2
, в котором
задана прямоугольная система координат
OXY,
и пусть а1
= прха
и а2
= пруа
проекции вектора а на оси OX
и OY
соответственно. Тогда (рис.14)

а= а1i+а2j (9)

Рис. 14

Аналогично, если
а — трехмерный вектор и а1
= прха,
а2
= пруа,
а3
= прzа
проекции этого вектора на оси OX,
OY,
OZ
соответственно, то имеем (рис.15):

а
= а1i+a2j+a3k (10)

Рис. 15

Из формул (9) и (10)
вытекает геометрический смысл координат
вектора: координаты вектора в прямоугольном
базисе являются проекциями этого вектора
на соответствующие оси.

Из теоремы Пифагора
вытекают формулы для длины вектора:

— для двумерного
вектора; (11)


для трехмерного случая. (12)

Определение.
Углом наклона вектора
а
к оси
m
называется уголмежду двумя выходящими из произвольной
точки М лучами, один из которых имеет
направление вектора а, другой — направление
оси
m
(рис16).

Рис.16

Теорема.
Проекция вектора а на ось
m
равна длине вектора а, умноженной на
косинус
угла наклона вектора а к оси
m,
то есть

прmа
=
(13)

Определение.
Направляющими косинусами вектора а
называются косинусы углов наклона
к осям соответственно
OX,
OY,
OZ,
то есть числа

Для трехмерного
вектора а=(а123),
заданного прямоугольными ко­ординатами,
формула (13) дает формулы, выражающие
координаты вектора а через его длину и
направляющие косинусы:

a1
=
a2
=
a3
=
(14)

Из формул (12) и (14)
следует:

Возводя в квадрат
полученные равенства и складывая их,
будем иметь:то есть сумма квадратов направляющих
косинусов равна единице.

Leave a Comment