Лекция 16

16.
Уравнение Бесселя и цилиндрические
функции

16.1.
Первоначальные сведения.
В
дальнейшем при рассмотрении электромагнитных
полей в областях с круговой симметрией
встретится обыкновенное дифференциальное
уравнение вида

(16.1)

которое
называется уравнением цилиндрических
функций, или уравнением Бесселя n-го
порядка. Ниже сообщаются некоторые
сведения о его решениях, цилиндрических
функциях.
Поскольку
вы достаточно знакомы с тригонометрическими
и экспоненциальными функциями, являющимися
решениями уравнения

(16.2)

то
начнём с замечания, что это уравнение
при некоторых ограничениях можно
рассматривать как предельную форму
уравнения Бесселя (16.1) при х  ∞.
Ввиду указанного обстоятельства, между
различными решениями обоих уравнений
существует соответствие; это поможет
понять роль цилиндрических функций в
разных задачах, а также их взаимные
соотношения. Частным решениям уравнения
(16.2) cosx,
sinx
соответствуют следующие частные решения
уравнения (16.1):

Jn
(х)-
функция
Бесселя n-го
порядка,

Nn
(x)
-.функция Неймана n-го
порядка.

Точно
так же частным решениям (16.2) ejx,
е
ix
соответствуют
частные решения уравнения (16.1):

H(1)n(х)
функция
Ханкеля 1-го рода п-го
порядка,

Н(2)n(х)
функция
Ханкеля 2-го рода п-го
порядка.

На
рис. 16.1 приведены графики некоторых из
цилиндрических функций. Подобно тому,
как
,имеют
место соотношения

(16.3)

Цилиндрические
функции не являются периодическими
(как, например, тригонометрические
функции вещественного аргумента), однако
это «осциллирующие», колеблющиеся
функции. Функции Jn(x)
и
Nn(x)
с
возрастанием положительного х
принимают
значения, колеблющиеся около нуля с
монотонно убывающей амплитудой. Их
графики создают впечатление деформированных
тригонометрических кривых.

Полезно
помнить, что

, (16.4)

и (16.5)

Подобно
общим решениям у
=
Acosx
+
Bsinx
и
y
=
Pejx
+
Qejx,
уравнения
(16.2) имеют общие решения уравнения
Бесселя (16.1) в виде:

y
=
AJn(x)
+
BNn(x) (16.6а)

. (16.б)

Обычно
требуется, чтобы решение задачи
удовлетворяло условию ограниченности
|у|
< ∞. Соответственно этому, если в
рассмотрение входит точка х =
0, то общее решение уравнения Бесселя
(16.1) ввиду (16.5) имеет вид:

y
=
AJn(x). (16.7)

Действительно,
единственная возможность получения
ограниченного решения ,на отрезке,
включающем нуль, состоит в том, что
неопределённый коэффициент В
в
(16.6а) полагается равным нулю.

16.2.
Асимптотические представления.
При неограниченно возрастающем аргументе
Jn(x)
и
Nn
(x)
переходят
в тригонометрические функции,
и
в
экспоненциальные:

(16.8)

(16.9)

(16.10)

(16.11)

Напомним
(п. 9.3), что употребленный здесь символ
0 (…) означает величину, убывающую при
х
→ ∞

как функция, заключённая в скобки (в
данном случае 1/х3/2).

Весьма
существенно следующее. Пусть х
=
kz,
и
решение уравнения Бесселя (16.1) должно
иметь характер комплексной амплитуды
волны, распространяющейся в сторону
возрастания z.
Тогда
оно выражается функцией Ханкеля второго
рода, т. е. получается из (16.6б)
при Q
=
0:

(16.12)

Это
вытекает из приведенных асимптотических
представлений (16.10), (16.11).

16.3.
Степенные ряды; представления функций
малого аргумента.
Функции. Бесселя представляются
степенными рядами вида:

(16.13)

В
частности,

(16.13а)

Поэтому
при
|
<< 1

(16.14)

В
частности,

и(16.14а)

Ввиду
громоздкости ряд для функций Неймана
мы не приводим. При |х|<< 1 эти функции
представляются в виде:

и

, (16.15)

(γ =
1,781…).

16.4.
Функциональные соотношения.
Запишем ещё ряд употребительных формул,
используя символ Zn(x)
для
обозначения произвольной цилиндрической
функции (формулы верны при подстановке
в качестве Zn(x)
функций
Бесселя, Неймана или Ханкеля).

Для
натурального п

Zn(x)
=
(-1)nZn(x). (16.16)

В
частности,

Z-1
(x)
= — Z1(x). (16.16a)

В
справедливости (16.16) для функций Бесселя
нетрудно убедиться на основании ряда
(16.13).

При
дифференцировании цилиндрических
функций пользуются соотношениями:

(16.17)

, (16.18)

а
также. (16.19)

Из
(16.17) следует:

. (16.20)

Для n
= 0 и n
= 1 из (16.17) получаем:

Z0(x)
=

Zt
(
x)
и
. (16:21)

Запишем
также некоторые неопределённые интегралы,
содержащие цилиндрические функции:

; (16.22)

(16.23)

; (16.24)

(16.25)

Эти
формулы нетрудно проверить, используя
приведенные ранее дифференциальные
соотношения.

16.5.
Интегральное представление функций
Бесселя.
Функции Бесселя Jn(x)
при
целом п
могут
быть представлены в виде:

(16.27)

Это
интегральное представление в дальнейшем
будет играть важную роль. Мы используем
его также для частичного обоснования
ранее приведенных соотношений.

Убедимся
сначала, что (16.27), действительно, выражает
решение уравнения Бесселя (16.1). С этой
целью произведем в (16.27) интегрирование
по частям и получим:

(16.28)

(первый
член в квадратных скобках уничтожается).

Далее
вычислим производную Jn(x)
и
также преобразуем полученное выражение
путём интегрирования его по частям:

(16.29)

Вторая
производная J«n(x)
имеет
вид:

. (16.30)

Внося
(16.28), (16.29) и (16.30) в уравнение (16.1), имеем
тождество:

,

в чём
немедленно убеждаемся после элементарных
преобразований с привлечением (16.27) и
(16.28).

Используя
интегральное представление (16.27), нетрудно
проверить приведенные в п. 4 дифференциальные
соотношения. Покажем это на примере
формулы (16.17). Согласно (16.27)

т. е.
можно написать:

что с
учётом (16.28) и (16.29) дает:

а это
совпадает с первым из равенств (16.17) при
Zn
(х)
=Jn(x).

16.6.
Разложение по функциям Бесселя. Далее
начнём с рассмотрения ряда Фурье
некоторой функции f
(φ),
определённой на отрезке, по функциямejna.
Вы
можете получить этот ряд, заменив в
(12.22) V(t)
на
f(φ)
и положив ω
= 1. Таким образом, имеем:

. (16.31а)

где

(16.31б)

Особый
интерес для нас представляет функция
f(φ)
= ejxsinφ.
Внося
её в (16.316) и учитывая интегральное
представление (16.27), имеем: an=
Jn(x).
Ряд
Фурье (16.31а) функции ejxsinφ
следовательно,
имеет вид:

(16.32)

Получено
разложение, содержащее функции Бесселя
всех целых порядков.

Выведем
ещё важную модификацию разложения
(16.32). Заменяя
слева и справа от знака равенства φ
на
,
находим:

(16.33)

Этот
результат может иметь, например, следующее
применение. Пусть вдоль оси z
распространяется
плоская однородная волна, комплексная
амплитуда которой изменяется, как ejkz.
Введём
цилиндрическую систему координат (рис.
16.2), в которой z
=
rcosφ,
так что ejkz
=
ejkrcosφ.
Поэтому,
делая в (16.33) замену х
kr
находим:

.(16.34)

Это
разложение плоской однородной волны
по гармоникам Jn(kr)eina,
которые
можно истолковать как бегущие по азимуту
φ
(по часовой стрелке или против неё в
зависимости от знака п)
плоские
неоднородные волны.

Разложение
(16.32) можно применить для получения
степенного ряда (16.13). Обозначив e
=
p,
перепишем (16.32) в виде:

(16.35)

Левую
часть будем рассматривать как произведение
функций

и,
которые можно разложить в степенные
ряды:

и

Перемножая
ряды и выделяя коэффициенты при степенях
рk
в
получаемом произведении, приравняем
их соответствующим коэффициентам в
правой части (16.35), т. е. функциям Бесселя
Jk(х);
это
и должно привести к (16.13). Например, для
получения разложения J0(х)
надо
перемножить лишь члены рядов с одинаковыми
номерами:

Как
видно, результат совпадает с соответствующим
рядом (16.13а).

Для
нахождения ряда (16.13) при любом порядке
функции
Бесселя
п
>0
надо
каждый (m
+ n)
-ый член разложения
умножить
наm-ый
член разложения

просуммировать
от т
=
0.
Это даёт:

(16.36)

Мы
получили краткую запись ряда (16.13).

11

Leave a Comment