ЛЕКЦИЯ 5 альб

Лекция 5. Решение
задач по теме «Аналитическая геометрия
в пространстве»

1. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку М0(1,
-2, 5) параллельно плоскости 7xy-2z-1=0.

Решение.Обозначим черезРзаданную плоскость, пустьР0– искомая параллельная плоскость,
проходящая через точкуМ0(1,
-2, 5).

Рассмотрим нормальный (перпендикулярный)
вектор
плоскостиР. Координаты нормального
вектора являются коэффициентами при
переменных в уравнении плоскости.

Поскольку плоскости РиР0параллельны, то векторперпендикулярен плоскостиР0,
т.е.
нормальный вектор плоскостиР0.

Уравнение плоскости, проходящей через
точку М0(x0,y0,z0)
с нормалью:

(1)

Подставляем координаты точки М0и вектора нормалив уравнение (1):

Раскрывая скобки, получаем общее
уравнение плоскости (окончательный
ответ):

.

2. Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точку М0(-2, 3, 0) параллельно
прямой
.

Решение.Обозначим черезLзаданную прямую, пустьL0– искомая параллельная прямая, проходящая
через точкуМ0(-2,3,0).

Направляющий вектор
прямойL(ненулевой вектор, параллельный этой
прямой) параллелен также и прямойL0.
Следовательно, векторявляется направляющим вектором прямойL0.

Координаты направляющего вектора
равны соответствующим знаменателям в
канонических уравнениях заданной прямой
.

Канонические уравнения прямой в
пространстве, проходящей через точку
M0(x0y0z0)
параллельно ненулевому вектору{lmn}

.
(2)

Подставляем координаты точки М0и направляющего векторав уравнение (2) и получаем канонические
уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения прямой в
пространстве, проходящей через точку
M0(x0y0z0)
параллельно ненулевому вектору{lmn},
имеют вид:

(3)

Подставляем координаты точки М0и направляющего векторав уравнения (3) и получаем параметрические
уравнения прямой:

3. Найти точку
,
симметричную точке,
относительно:
а) прямойб) плоскости

Решение.а) Составим уравнение перпендикулярной
плоскостиП, проектирующей точкуна данную прямую:

Чтобы найти
используем условие перпендикулярности
заданной прямой и проектирующей
плоскости. Направляющий вектор прямойперпендикулярен плоскостивекторявляется вектором нормалик плоскостиУравнение плоскости, перпендикулярной
заданной прямой имеет видили

Найдем проекцию Рточки М на
прямую. ТочкаРесть точка пересечения
прямой и плоскости, т.е. ее координаты
должны одновременно удовлетворять и
уравнениям прямой, и уравнению плоскости.
Решим систему:

.

Чтобы решить ее, запишем уравнение
прямой в параметрическом виде:

Подставляя выражения для
в уравнение плоскости, получим:

Отсюда находим
Найденные координаты – это координаты
серединыРотрезка, соединяющего
точку
и симметричную ей точку

В школьном курсе геометрии формулировалась
теорема.

Координаты середины отрезка равны
полусуммам соответствующих координат
его концов.

Находим координаты точки
из формул для координат середины отрезка:

Получаем:
Итак,.

Решение.б) Чтобы найти точку,
симметричную точкеотносительно
данной плоскостиП, опустим
перпендикуляр из точкина эту плоскость. Составим уравнение
прямой с направляющим вектором,
проходящей через точку
:

Перпендикулярность прямой и плоскости
означает, что направляющий вектор прямой
перпендикулярен плоскости .
Тогда уравнение прямой, проектирующей
точкуна заданную плоскость, имеет вид:

Решив совместно уравнения
инайдем проекциюРточкина плоскость. Для этого перепишем
уравнения прямой в параметрическом
виде:

Подставим эти значения
в уравнение плоскости:Аналогично п. а), используя формулы
для координат середины отрезка, находим
координаты симметричной точки:

т.е..

4. Составить уравнение плоскости,
проходящей а) через прямую
параллельно вектору
;
б) через две пересекающиеся прямые

и(предварительно доказав, что они
пересекаются); в) через две параллельные
прямыеи;
г) через прямуюи точку.

Решение.а) Поскольку заданная
прямая лежит в искомой плоскости, и
искомая плоскость параллельна вектору,
то нормальный вектор плоскости будет
перпендикулярен направляющему вектору
прямойи вектору.

Следовательно, в качестве нормального
вектора плоскости можно выбрать векторное
произведение векторов
и:

.

Получаем координаты нормального вектора
плоскости
.

Найдем точку на прямой. Приравнивая
отношения в канонических уравнениях
прямой к нулю:

,

находим
,,.
Заданная прямая проходит через точку,
следовательно, плоскость тоже проходит
через точку.
Используя уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку перпендикулярно
вектору,
получаем уравнение плоскости,
или,
или, окончательно,.

Решение.б) Две прямые в пространстве
могут пересекаться, скрещиваться или
быть параллельными. Заданные прямые

и(4)

не параллельны, поскольку их направляющие
векторы
ине коллинеарны:.

Как проверить, что прямые пересекаются?
Можно решать систему (4) из 4 уравнений
с 3 неизвестными. Если система имеет
единственное решение, то мы получаем
координаты точки пересечения прямых.
Однако для решения нашей задачи —
построения плоскости, в которой лежат
обе прямые, точка их пересечения не
нужна. Поэтому можно сформулировать
условие пересечения двух непараллельных
в пространстве прямых без нахождения
точки пересечения.

Если две непараллельные прямые
пересекаются, то направляющие вектора
,и соединяющий лежащие на прямых точкиивекторлежат в одной плоскости, т.е. компланарнысмешанное произведение
этих векторов равно нулю:

. (5)

Приравниваем отношения в канонических
уравнениях прямых к нулю (а можно к 1 или
любому числу)

и,

и находим координаты точек на прямых.
Первая прямая проходит через точку
,
а вторая прямая – через точку.
Направляющие векторы этих прямых
соответственно равныи.
Получаем

.

Равенство (5) выполнено, следовательно,
заданные прямые пересекаются. Значит,
существует единственная плоскость,
проходящая через эти две прямые.

Переходим ко второй части задачи –
составление уравнения плоскости.

В качестве нормального вектора плоскости
можно выбрать векторное произведение
их направляющих векторов
и:

.

Координаты нормального вектора плоскости
.

Мы выяснили, что прямая
проходит через,
следовательно, искомая плоскость тоже
проходит через эту точку. Получаем
уравнение плоскости,
илиили, окончательно,.

в) Так как прямые
ипараллельны, то в качестве нормального
вектора нельзя выбрать векторное
произведение их направляющих векторов,
оно будет равно нулевому вектору.

Определим координаты точек
и,
через которые проходят эти прямые. Пустьи,
тогда,.
Вычислим координаты вектора.
Векторлежит в искомой плоскости и неколлинеарен
вектору,
тогда в качестве ее нормального вектораможно выбрать векторное произведение
вектораи направляющего вектора первой прямой:

.
Итак,.

Плоскость проходит через прямую
,
значит, она проходит через точку.
Получаем уравнение плоскости:,
или.

г) Приравнивая отношения в канонических
уравнениях прямой к нулю
,
находим,,.
Следовательно, прямая проходит через
точку.

Вычислим координаты вектора
.
Векторпринадлежит искомой плоскости, в качестве
ее нормального векторавыберем векторное произведение
направляющего вектора прямойи
вектора:

.

Тогда уравнение плоскости имеет вид:
,
или.

Leave a Comment