Метод эквивалентного генератора

Метод
эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора,
основанный на теореме об активном
двухполюснике
(называемой также
теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет
достаточно просто определить ток в
одной (представляющей интерес при
анализе) ветви сложной линейной схемы,
не находя токи в остальных ветвях.

Теорема об активном двухполюснике
формулируется следующим образом: если
активную цепь, к которой присоединена
некоторая ветвь, заменить источником
с ЭДС, равной напряжению на зажимах
разомкнутой ветви, и сопротивлением,
равным входному сопротивлению активной
цепи, то ток в этой ветви не изменится.

Ход доказательства теоремы иллюстрируют
схемы на рис. 1.

Пусть в схеме выделена некоторая ветвь
с сопротивлением Z, а вся оставшаяся
цепь обозначена как активный двухполюсник
А(рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между
точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой
ветви имеет место напряжение.
Если теперь между зажимами 1 и 2 включить
источник ЭДСс
направлением, указанным на рис. 1,в , то,
как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет
равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать
эквивалентной цепи на рис. 1,а, в
рассматриваемую ветвь нужно включить
еще один источник ЭДС,
компенсирующий действие первого (рис.
1,г). Будем теперь искать токпо
принципу наложения, т.е. как сумму двух
составляющих, одна из которых вызывается
источниками, входящими в структуру
активного двухполюсника, и источником
ЭДС,
расположенным между зажимами 1 и 2 слева,
а другая – источником ЭДС,
расположенным между зажимами 1 и 2 справа.
Но первая из этих составляющих в
соответствии с рис. 1,в равна нулю, а
значит, токопределяется
второй составляющей,

т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный
двухполюсник Азаменен пассивным
двухполюсникомП. Таким образом,
теорема доказана.

Указанные в теореме ЭДС и сопротивление
можно интерпретировать как соответствующие
параметры некоторого эквивалентного
исходному активному двухполюснику
генератора, откуда и произошло название
этого метода.

Таким образом, в соответствии с данной
теоремой схему на рис. 2,а, где относительно
ветви, ток в которой требуется определить,
выделен активный двухполюсник А со
структурой любой степени сложности,
можно трансформировать в схему на рис.
2,б.

Отсюда ток
находится,
как:

,

(1)

где

напряжение на разомкнутых зажимах a-b.

Уравнение (1) представляет собой
аналитическое выражение метода
эквивалентного генератора.

Параметры эквивалентного генератора
(активного двухполюсника) могут быть
определены экспериментальным или
теоретическим путями.

В первом случае, в частности на постоянном
токе, в режиме холостого хода активного
двухполюсника замеряют напряжение
на
его зажимах с помощью вольтметра, которое
и равно.
Затем закорачивают зажимы a и b активного
двухполюсника с помощью амперметра,
который показывает ток(см.
рис. 2,б). Тогда на основании результатов
измерений.

В принципе аналогично находятся параметры
активного двухполюсника и при
синусоидальном токе; только в этом
случае необходимо определить комплексные
значения
и.

При теоретическом определении
параметров эквивалентного генератора
их расчет осуществляется в два этапа:

1. Любым из известных методов расчета
линейных электрических цепей определяют
напряжение на зажимах a-b активного
двухполюсника при разомкнутой исследуемой
ветви.

2. При разомкнутой исследуемой ветви
определяется входное сопротивление
активного двухполюсника,
заменяемого
при этом пассивным
. Данная замена
осуществляется путем устранения из
структуры активного двухполюсника всех
источников энергии, но при сохранении
на их месте их собственных (внутренних)
сопротивлений. В случае идеальных
источников это соответствует закорачиванию
всех источников ЭДС и размыканию всех
ветвей с источниками тока.

Сказанное иллюстрируют схемы на рис.
3, где для расчета входного (эквивалентного)
сопротивления активного двухполюсника
на рис. 3,а последний преобразован в
пассивный двухполюсник со структурой
на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис.
3,б

.

В качестве примера использования метода
эквивалентного генератора для анализа
определим зависимость показаний
амперметра в схеме на рис. 4 при изменении
сопротивления R переменного резистора
в диагонали моста в пределах
.
Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

В соответствии с изложенной выше
методикой определения параметров
активного двухполюсника для нахождения
значения
перейдем
к схеме на рис. 5, где напряжениена
разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет
искомую ЭДС.
В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления
активного двухполюсника трансформируем
его в схему на рис. 6.

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного
двухполюсника его сопротивление равно:

.

Таким образом, для показания амперметра
в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно
записать

.

(2)

Задаваясь значениями R в пределах его
изменения, на основании (2) получаем
кривую на рис.7.

В качестве примера использования метода
эквивалентного генератора для анализа
цепи при синусоидальном питании
определим, при каком значении нагрузочного
сопротивления
в
цепи на рис. 8 в нем будет выделяться
максимальная мощность, и чему она будет
равна.

Параметры цепи:
;.

В соответствии с теоремой об активном
двухполюснике обведенная пунктиром на
рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным
генератором с параметрами

В соответствии с (1) для тока
черезможно
записать

откуда для модуля этого тока имеем

. (3)

Анализ полученного выражения (3)
показывает, что ток I, а следовательно,
и мощность будут максимальны, если
;
откуда,
причем знак “-” показывает, что нагрузкаимеет
емкостный характер.

Таким образом,

и.

Данные соотношения аналогичны
соответствующим выражениям в цепи
постоянного тока, для которой, как
известно, максимальная мощность на
нагрузке выделяется в режиме согласованной
нагрузки, условие которого
.

Таким образом, искомые значения
и
максимальной мощности:.

Теорема вариаций

Теорема вариаций применяется в тех
случаях, когда требуется рассчитать,
насколько изменятся токи или напряжения
в ветвях схемы, если в одной из ветвей
этой схемы изменилось сопротивление.

Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с
токами
и,
а остальную часть схемы обозначим
активным четырехполюсником А. При этом,
полагаем что проводимостииизвестны.

Пусть сопротивление n-й ветви изменилось
на
.
В результате этого токи в ветвях схемы
будут соответственно равныи(рис.
9,б). На основании принципа компенсации
заменимисточником
с ЭДС.
Тогда в соответствии с принципом
наложения можно считать, что приращения
токовивызваныв
схеме на рис. 9,в, в которой активный
четырехполюсникАзаменен на
пассивныйП.

Для этой цепи можно записать

откуда

и.

Полученные соотношения позволяют
определить изменения токов в m-й и n-й
ветвях, вызванные изменением сопротивления
в n-й ветви.

Leave a Comment