| Xn — xm | = | ( xn — a ) + ( a — xm ) | |xn — a | + | xm — a |

| Xn — xm | = | ( xn — a ) + ( a — xm ) | |xn — a | + | xm — a |

что
означает, что xn } фундаментальна.
Достаточность. Докажем
сначала ограниченность
последовательности xn }.
Возьмем =0,
тогда по фундаментальности xn },
найдется N),
что для всех n,
m
 N ( ) выполняется xn —xm | 1.
Следовательно, xn |
— | 
xm | |xn — xm | 1,
поэтому xn | 1
+ |
xm | .
Итак, для всех n N ( ) при
фиксированном m N ( ) выполняется xn | 1
+ |
xm | ,
что означает ограниченность
последовательности
xn },
( см. замечание 3.2.1 ). По теореме 4.3.2 из
последовательности xn } можно
выделить подпослеловательность,
сходящуюся к некоторому числу a.
Докажем, что и вся последовательность
сходится к числу a.
Возьмем
любое 0,
тогда найдется номер N (
из фундаментальности xn } ),
что для всех n,
m
 N выполняется xn — xm | /
2
.
В виду сходимости xnk a при k по
взятому0найдется
номер k0,
такой, что nk0 N и xnk0 — a | /
2
 .
Тогда для любого N

xn — a |
= | 
xn — xm + xm — a |
xm = xnk0 ] xn — xm |
+ | 
xnk0 — a | ,

что
означает сходимость последовательности xn } к
числу a.

В
этой главе и главе 3 доказаны
ряд важнейших свойств действительных
чисел :1) Существование
предела у монотонной и ограниченной
последовательности ( теорема 3.1.2
).
2) Принцип
вложенных отрезков ( теорема 4.1.1
).
3) Существование
точной верхней границы у произвольного
ограниченного сверху множества
(
теорема 4.2.1 ).
4) Из
ограниченной последовательности можно
выделить сходящуюся подпоследовательность
(
теорема 4.3.2 )
5) Критерий
Коши сходимости числовой последовательности
( теорема 4.4.1 )

Хотя
перечисленные свойства действительных
чисел и выглядят различно, на самом деле
у них имеется глубокая внутренняя связь.
Можно показать, что все эти утверждения
эквивалентны. Мы показали лишь, что
из 1) следует 2),
из 2) следует 3),
из 2) следует 4),
из 4) следует 5).
Свойства 1)
— 5)
 называются
еще свойствами непрерывности
или полноты
 множества
действительных чисел .
а.
 Критерий Коши

Определение 7. Последовательность п} называетсяфундаменталь­ной (или последовательностью Коши1)), если
для любого числа е > 0
най­дется такой
номер N £ N, что из n>Nnm>Nследует хт 
х
п <
е.

Теорема 4
(критерий Коши сходимости
последовательности).Числовая
последовательность сходится тогда и
только тогда, когда она фундамен­тальна.

4 Пусть lim хп =
А.
 По
числу е
>
 0
найдем номер N так,
чтобы при

п—юо

п
> N
 иметь хп  А < -. Если
теперь m > N и n > TV, то
т —
хп|
<

< хт  А +
х
п  А < f + § = f и, таким
образом, проверено, что сходящаяся

последовательность
фундаментальна.

Пусть
теперь       — фундаментальная
последовательность. По заданному

U                                                                               U                                                                                 I                                                                                I                                                                                 £

£
> 0 найдем номер N такой,
что из т
^ N и
 k ^
N
 следует хт — Xk <Фиксировав m = N, получаем,
что при любом к > N

XN ~ g < хк < XN +                                                                                                                             (1)

но
поскольку имеется всего конечное число
членов последовательностип} с
номерами,-не превосходящими N, то
мы доказали, что фундаментальная
последовательность ограничена.

Для п Е
N положим теперь an := inf       fcn := sup я*.

к^п                                              к^п

Из
этих определений видно, что ап ^ an+i ^ &n+i ^
&п
 (поскольку
при переходе к меньшему множеству нижняя
грань не уменьшается, а верхняя не
увеличивается). Последовательность
вложенных отрезков[ап,6п] имеет,
по лемме о вложенных отрезках, общую
точку А.

Поскольку
при любом п е N

ап ^
А
 ^
6П,

а
при к
^ п

ап = inf Xk хк ^ sups* = fcn,

то
при к ^
тг имеем

|А-х*| ^6пп.                                                                                                                        (2)

Но
из (1) следует,
что при п
> N

16)
Функция называется возрастающей (убывающей) на
множестве X, если для любых таких точек
x1X
и x2X,
что x1 < x2, выполняется неравенство
f(x1) < f(x2) (соответственно неравенство
f(x1) > f(x2)).

Если
же для любых точек x1X
и x2X,
x1 < x2, выполняется неравенство
f(x1)f(x2)
(соответственно неравенство f(x1)  f(x2)),
то функцию называют неубывающей
(невозрастающей). Иногда удобнее и в
этом случае называть функцию возрастающей
(убывающей) – но в широком смысле.

Возрастающие
и убывающие на множестве X функции
называются монотонными на этом множестве.

Теорема
4. Пусть функция 
неубывающая на (a, b), где, в частности,
может быть.
Если она ограничена сверху числом M, то
существует конечный предел.
Если же она не ограничена сверху, то.

Аналогично,
если функция f ограничена снизу, то в
точке a у неё существует конечный предел
справа, а если f не ограничена снизу,
то .

Подобные
утверждения справедливы и для убывающих
функций; их можно получить, перейдя от
функции f к функции –f.

Доказательство.
Из ограниченности f следует существование
конечной точной верхней грани .
Таким образом,,
и для всякого >
0 существуеттакое,
что.
Но в силу того, что f не убывает,.
Таким образом, для любого>0
можно указать такое,
чтодля
всех x, удовлетворяющих неравенствам.
Это и значит, что.

Пусть
теперь неубывающая функция f не ограничена
сверху. Тогда для любого M существует такое,
что M < f(x1), и вследствие того, что f не
убывает на X,

,

а
это и говорит о том, что .

Leave a Comment