Как задать матрицу в wolfram mathematica

Для задания матрицы в Wolfram Mathematica используется встроенная структура списков. Прямоугольная матрица представляется как список строк, каждая из которых является списком элементов. Пример: {{1, 2}, {3, 4}} задаёт матрицу 2×2. Количество элементов в каждой вложенной строке должно быть одинаковым, иначе результат не будет интерпретироваться как матрица.

Если необходимо создать нулевую матрицу или единичную, используйте функции ConstantArray и IdentityMatrix. Пример: ConstantArray[0, {3, 3}] создаёт нулевую матрицу 3×3, а IdentityMatrix[4] – единичную матрицу 4×4.

Для программного построения матриц с вычислениями применяют Table. Пример: Table[i + j, {i, 1, 3}, {j, 1, 3}] создаёт матрицу 3×3, в которой каждый элемент вычисляется как сумма индексов строки и столбца.

Для преобразования произвольного списка в матрицу используется Partition. Пример: Partition[{1, 2, 3, 4, 5, 6}, 2] формирует матрицу с двумя элементами в каждой строке: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}}.

Задание числовой матрицы с помощью списка списков

В Mathematica числовая матрица задаётся как список строк, каждая из которых представлена списком чисел. Внутренние списки соответствуют строкам матрицы, а их элементы – значениям в ячейках.

mat = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};

• Матрица состоит из 3 строк и 3 столбцов.
• Тип данных внутри может быть целым или вещественным: {{1.0, 2.5}, {3.1, 4.8}}.
• Элементы должны быть согласованы по количеству. {{1, 2}, {3}} вызовет ошибку при операциях с матрицей.

Для проверки формы используется функция MatrixQ:

MatrixQ[mat] (* Вернёт True, если структура корректна *)

Создание нулевой или единичной матрицы аналогично:

Table[0, {3}, {4}] (* 3 строки, 4 столбца, все значения – 0 *)

Для генерации матрицы с вычисляемыми значениями применяется Table с индексами:

Table[i + j, {i, 1, 2}, {j, 1, 3}] (* 2×3 матрица: элементы равны сумме индексов *)

• Первый индекс – номер строки, второй – столбца.
• Формирование по шаблону удобно для тестов и отладки.

Использование функции Array для генерации матрицы

Функция Array позволяет задать матрицу с вычисляемыми элементами. Синтаксис: Array[f, {n, m}], где f – функция от двух аргументов, n и m – количество строк и столбцов соответственно.

Пример создания матрицы 3×4, где каждый элемент равен произведению номера строки и столбца:

Array[#1*#2 &, {3, 4}]

Результат:

{{1, 2, 3, 4},
{2, 4, 6, 8},
{3, 6, 9, 12}}

Можно использовать любые выражения. Пример: создание символьной матрицы:

Array[Subscript[a, ##] &, {2, 3}]

Результат:

{{Subscript[a, 1, 1], Subscript[a, 1, 2], Subscript[a, 1, 3]},
{Subscript[a, 2, 1], Subscript[a, 2, 2], Subscript[a, 2, 3]}}

Для создания верхнетреугольной матрицы можно использовать условие внутри функции:

Array[If[#1 <= #2, 1, 0] &, {4, 4}]

Результат:

{{1, 1, 1, 1},
{0, 1, 1, 1},
{0, 0, 1, 1},
{0, 0, 0, 1}}

Функция Array особенно полезна для построения матриц с зависимостями между индексами элементов, когда невозможно или неудобно перечислять значения вручную.

Создание разреженной матрицы с помощью SparseArray

Функция SparseArray позволяет задать разреженную матрицу, указав только ненулевые элементы и их позиции. Это экономит память при работе с большими матрицами, в которых большинство элементов равны нулю.

Для создания разреженной матрицы размером 5×5 с ненулевыми элементами на диагонали используется следующая запись:

SparseArray[{i_ :> 1}, {5, 5}]

Этот вариант создаёт единичную матрицу, где i_ :> 1 означает, что все элементы с равными индексами (i, i) принимают значение 1.

Можно задать произвольные позиции ненулевых элементов через список:

SparseArray[{{1, 3} -> 7, {2, 4} -> -2}, {4, 4}]

В результате получится 4×4 матрица, где на позициях (1,3) и (2,4) будут значения 7 и -2 соответственно, остальные элементы – нули.

Если необходимо задать только ненулевые элементы с автоматическим обрезанием размера, используется форма без явного указания размеров:

SparseArray[{{1, 2} -> 3, {3, 1} -> 5}]

Размер матрицы будет определён по максимальным индексам, в данном случае 3×2.

Для получения плотной матрицы из разреженной применяется Normal:

Normal[SparseArray[{{1, 2} -> 3}]]

Это вернёт обычную матрицу, пригодную для дальнейших стандартных операций без оптимизации по памяти.

Формирование символьной матрицы

Символьные матрицы в Mathematica создаются с использованием функции Array или прямого ввода списков с символьными элементами. Для создания матрицы размером 3×3 с элементами aij используйте:

Array[a, {3, 3}]

Этот вызов создаст матрицу с элементами a[1,1], a[1,2] и так далее. Чтобы получить вид с индексами в нижнем регистре (например, a₁₁), применяйте:

Array[Subscript[a, ##] &, {3, 3}]

Для создания матриц с произвольными символьными выражениями можно использовать явный ввод:

{{x, y, z}, {u, v, w}, {p, q, r}}

Если требуется матрица с определённым законом формирования элементов, например xi+j, используйте:

Table[x^(i + j), {i, 1, 3}, {j, 1, 3}]

Все элементы таких матриц остаются невычисленными, что позволяет выполнять символьные преобразования: транспонирование, умножение, нахождение определителей и собственных значений.

Импорт матрицы из внешнего файла

Для загрузки матрицы из CSV-файла используйте функцию Import. Пример:

mat = Import["путь/к/файлу.csv"];

Если в файле разделители – запятые, Mathematica автоматически распознает формат. При других разделителях используйте:

mat = Import["путь/к/файлу.txt", {"Table", "FieldSeparators" -> {";"}}];

При наличии заголовков в первой строке примените опцию HeaderLines -> 1:

mat = Import["путь/к/файлу.csv", {"Table", "HeaderLines" -> 1}];

Для чтения чисел как вещественных значений, если импорт приводит к строкам, выполните:

mat = ToExpression /@ Import["путь/к/файлу.csv"];

При использовании Excel-файлов укажите лист и диапазон:

mat = Import["путь/к/файлу.xlsx", {"Data", 1}];

Чтобы проверить тип данных после импорта, используйте MatrixQ[mat]. Если результат – False, проверьте наличие недопустимых элементов, пустых ячеек или строк вместо чисел.

Проверка формы и элементов матрицы

Для определения размеров матрицы используется функция Dimensions[matrix]. Она возвращает список, где первый элемент – количество строк, второй – количество столбцов.

Проверить, является ли объект матрицей, можно через MatrixQ[matrix]. По умолчанию она возвращает True, если все элементы – списки одинаковой длины, состоящие из чисел или символов. Для проверки на конкретный тип данных указывается второй аргумент, например, MatrixQ[matrix, NumericQ].